scipy.integrate.

Radau#

class scipy.integrate.Radau(fun, t0, y0, t_bound, max_step=inf, rtol=0.001, atol=1e-06, jac=None, jac_sparsity=None, vectorized=False, first_step=None, **extraneous)[source]#

Radau IIA 族 5 階隱式龍格-庫塔法。

此實作遵循 [1]。誤差由三階精確的嵌入公式控制。滿足配置條件的三次多項式用於密集輸出。

參數:

funcallable

系統的右側：時間 t 時狀態 y 的時間導數。呼叫簽名為 fun(t, y)，其中 t 是純量，y 是 len(y) = len(y0) 的 ndarray。fun 必須傳回與 y 相同形狀的陣列。有關更多資訊，請參閱 vectorized。

t0float

初始時間。

y0array_like, shape (n,)

初始狀態。

t_boundfloat

邊界時間 - 積分不會超過此時間繼續。它也決定了積分的方向。

first_stepfloat 或 None，選填

初始步長。預設值為 None，表示演算法應自行選擇。

max_stepfloat，選填

允許的最大步長。預設值為 np.inf，即步長不受限制，僅由求解器決定。

rtol, atolfloat 和 array_like，選填

相對和絕對容差。求解器使局部誤差估計值小於 atol + rtol * abs(y)。此處 rtol 控制相對精度（正確位數），而 atol 控制絕對精度（正確小數位數）。若要達到所需的 rtol，請將 atol 設定為小於可從 rtol * abs(y) 預期獲得的最小值，以便 rtol 主導允許的誤差。如果 atol 大於 rtol * abs(y)，則不保證正確位數。相反地，若要達到所需的 atol，請設定 rtol，使 rtol * abs(y) 始終小於 atol。如果 y 的組件具有不同的尺度，則為不同的組件設定不同的 atol 值可能是有益的，方法是為 atol 傳遞形狀為 (n,) 的 array_like。預設值為 rtol 的 1e-3 和 atol 的 1e-6。

jac{None, array_like, sparse_matrix, callable}，選填

系統右側相對於 y 的雅可比矩陣，此方法需要。雅可比矩陣的形狀為 (n, n)，其元素 (i, j) 等於 d f_i / d y_j。定義雅可比矩陣的方法有三種

如果為 array_like 或 sparse_matrix，則假定雅可比矩陣為常數。

如果為 callable，則假定雅可比矩陣取決於 t 和 y；將在必要時呼叫為 jac(t, y)。對於 ‘Radau’ 和 ‘BDF’ 方法，傳回值可能是稀疏矩陣。

如果為 None（預設值），則雅可比矩陣將通過有限差分法近似。

通常建議提供雅可比矩陣，而不是依賴有限差分近似。

jac_sparsity{None, array_like, sparse matrix}，選填

定義雅可比矩陣的稀疏結構，用於有限差分近似。其形狀必須為 (n, n)。如果 jac 不是 None，則忽略此引數。如果雅可比矩陣在每行中只有少數非零元素，則提供稀疏結構將大大加快計算速度 [2]。零項目表示雅可比矩陣中對應的元素始終為零。如果為 None（預設值），則假定雅可比矩陣為密集矩陣。

vectorizedbool，選填

是否可以向量化方式呼叫 fun。預設值為 False。

如果 vectorized 為 False，則始終使用形狀為 (n,) 的 y 呼叫 fun，其中 n = len(y0)。

如果 vectorized 為 True，則可以使用形狀為 (n, k) 的 y 呼叫 fun，其中 k 是一個整數。在這種情況下，fun 的行為必須使得 fun(t, y)[:, i] == fun(t, y[:, i]) （即，傳回陣列的每一列都是與 y 的一列對應的狀態的時間導數）。

設定 vectorized=True 允許通過此方法更快地進行雅可比矩陣的有限差分近似，但在某些情況下（例如，小 len(y0)）可能會導致整體執行速度變慢。

參考文獻

[1]

E. Hairer, G. Wanner, “Solving Ordinary Differential Equations II: Stiff and Differential-Algebraic Problems”, Sec. IV.8.

[2]

A. Curtis, M. J. D. Powell, and J. Reid, “On the estimation of sparse Jacobian matrices”, Journal of the Institute of Mathematics and its Applications, 13, pp. 117-120, 1974.

屬性:

nint: 方程式數量。
statusstring: 求解器的目前狀態：「running」、「finished」或「failed」。
t_boundfloat: 邊界時間。
directionfloat: 積分方向：+1 或 -1。
tfloat: 目前時間。
yndarray: 目前狀態。
t_oldfloat: 先前時間。如果尚未執行任何步驟，則為 None。
step_sizefloat: 上次成功步驟的大小。如果尚未執行任何步驟，則為 None。
nfevint: 右側的評估次數。
njevint: 雅可比矩陣的評估次數。
nluint: LU 分解的次數。

方法

`dense_output`()	計算上一個成功步驟的局部內插值。
`step`()	執行一個積分步驟。