Fligner-Killeen 變異數相等性檢定#
在 [1] 中，研究了維生素 C 對豚鼠牙齒生長的影響。在一項對照研究中，60 名受試者被分為小劑量、中劑量和大劑量組，分別接受每日劑量 0.5、1.0 和 2.0 毫克的維生素 C。42 天後，測量了牙齒的生長情況。
下方的 small_dose、medium_dose 和 large_dose 陣列記錄了三組牙齒生長的測量值，單位為微米。
import numpy as np
small_dose = np.array([
4.2, 11.5, 7.3, 5.8, 6.4, 10, 11.2, 11.2, 5.2, 7,
15.2, 21.5, 17.6, 9.7, 14.5, 10, 8.2, 9.4, 16.5, 9.7
])
medium_dose = np.array([
16.5, 16.5, 15.2, 17.3, 22.5, 17.3, 13.6, 14.5, 18.8, 15.5,
19.7, 23.3, 23.6, 26.4, 20, 25.2, 25.8, 21.2, 14.5, 27.3
])
large_dose = np.array([
23.6, 18.5, 33.9, 25.5, 26.4, 32.5, 26.7, 21.5, 23.3, 29.5,
25.5, 26.4, 22.4, 24.5, 24.8, 30.9, 26.4, 27.3, 29.4, 23
])
Fligner-Killeen 統計量（scipy.stats.fligner）對樣本之間變異數的差異很敏感。
from scipy import stats
res = stats.fligner(small_dose, medium_dose, large_dose)
res.statistic
1.3878943408857916
當變異數存在很大差異時，統計量的值往往會很高。
我們可以通過將觀察到的統計量值與虛無分配（在三個組群的母體變異數相等的虛無假設下，統計量值的分配）進行比較，來檢定組群之間變異數的不相等性。
對於此檢定，虛無分配遵循卡方分配，如下所示。
import matplotlib.pyplot as plt
k = 3 # number of samples
dist = dist = stats.chi2(df=k-1)
val = np.linspace(0, 8, 100)
pdf = dist.pdf(val)
fig, ax = plt.subplots(figsize=(8, 5))
def plot(ax): # we'll reuse this
ax.plot(val, pdf, color='C0')
ax.set_title("Fligner Test Null Distribution")
ax.set_xlabel("statistic")
ax.set_ylabel("probability density")
ax.set_xlim(0, 8)
ax.set_ylim(0, 0.5)
plot(ax)
plt.show()
比較結果以 p 值量化：虛無分配中大於或等於觀察到的統計量值的比例。
fig, ax = plt.subplots(figsize=(8, 5))
plot(ax)
pvalue = dist.sf(res.statistic)
annotation = (f'p-value={pvalue:.4f}\n(shaded area)')
props = dict(facecolor='black', width=1, headwidth=5, headlength=8)
_ = ax.annotate(annotation, (1.5, 0.22), (2.25, 0.3), arrowprops=props)
i = val >= res.statistic
ax.fill_between(val[i], y1=0, y2=pdf[i], color='C0')
plt.show()
res.pvalue
0.49960016501182125
如果 p 值「很小」——也就是說，如果從具有相同變異數的分配中採樣數據，並且產生如此極端的統計量值的機率很低——這可以被視為反對虛無假設，而支持對立假設的證據：組群的變異數不相等。請注意
反之則不然；也就是說，該檢定不用於提供支持虛無假設的證據。
將被視為「小」的值的閾值是一個選擇，應該在分析數據之前做出 [2]，並考慮到偽陽性（錯誤地拒絕虛無假設）和偽陰性（未能拒絕錯誤的虛無假設）的風險。
小的 p 值並不是大的效應的證據；相反，它們只能為「顯著」效應提供證據，這意味著它們不太可能在虛無假設下發生。
請注意，卡方分配提供了虛無分配的漸近近似。對於小樣本，執行置換檢定可能更合適：在所有三個樣本都從同一母體中抽取的虛無假設下，每個測量值都同樣有可能在三個樣本中的任何一個樣本中觀察到。因此，我們可以通過計算在許多隨機生成的將觀察值劃分為三個樣本的情況下的統計量，來形成隨機化的虛無分配。
def statistic(*samples):
return stats.fligner(*samples).statistic
ref = stats.permutation_test(
(small_dose, medium_dose, large_dose), statistic,
permutation_type='independent', alternative='greater'
)
fig, ax = plt.subplots(figsize=(8, 5))
plot(ax)
bins = np.linspace(0, 8, 25)
ax.hist(
ref.null_distribution, bins=bins, density=True, facecolor="C1"
)
ax.legend(['asymptotic approximation\n(many observations)',
'randomized null distribution'])
plot(ax)
plt.show()
ref.pvalue # randomized test p-value
0.4412
請注意，此處計算的 p 值與 scipy.stats.fligner 上方返回的漸近近似之間存在顯著差異。可以從置換檢定中嚴格得出的統計推論是有限的；儘管如此，在許多情況下，它們可能是首選方法 [3]。