Wallenius 非中心超幾何分佈#

一個隨機變數具有 Wallenius 非中心超幾何分佈，參數為

\(M \in {\mathbb N}\), \(n \in [0, M]\), \(N \in [0, M]\), \(\omega > 0\),

如果其機率質量函數由下式給出

\[p(x; N, n, M) = \binom{n}{x} \binom{M - n}{N-x}\int_0^1 \left(1-t^{\omega/D}\right)^x\left(1-t^{1/D}\right)^{N-x} dt\]

對於 \(x \in [x_l, x_u]\)，其中 \(x_l = \max(0, N - (M - n))\), \(x_u = \min(N, n)\),

\[D = \omega(n - x) + ((M - n)-(N-x)),\]

且二項式係數為

\[\binom{n}{k} \equiv \frac{n!}{k! (n - k)!}.\]

參考文獻#