Fisher 非中心超幾何分佈#

若一隨機變數具有 Fisher 非中心超幾何分佈，其參數為

\(M \in {\mathbb N}\), \(n \in [0, M]\), \(N \in [0, M]\), \(\omega > 0\),

則其機率質量函數由下式給出

\[p(x; M, n, N, \omega) = \frac{\binom{n}{x}\binom{M - n}{N-x}\omega^x}{P_0},\]

對於 \(x \in [x_l, x_u]\)，其中 \(x_l = \max(0, N - (M - n))\), \(x_u = \min(N, n)\),

\[P_k = \sum_{y=x_l}^{x_u} \binom{n}{y} \binom{M - n}{N-y} \omega^y y^k,\]

而二項式係數為

\[\binom{n}{k} \equiv \frac{n!}{k! (n - k)!}.\]

此分佈的其他函數為

\begin{eqnarray*} \mu & = & \frac{P_0}{P_1},\\ \mu_{2} & = & \frac{P_2}{P_0} - \left(\frac{P_1}{P_0}\right)^2,\\ \end{eqnarray*}

參考文獻#