Bartlett 變異數相等性檢定#

在 [1] 中，研究了維生素 C 對豚鼠牙齒生長的影響。在一項對照研究中，60 名受試者被分為小劑量、中劑量和大劑量組，分別每日接受 0.5、1.0 和 2.0 毫克的維生素 C。42 天後，測量了牙齒的生長情況。

以下的 small_dose、medium_dose 和 large_dose 陣列記錄了三組牙齒生長的測量值，單位為微米。

import numpy as np
small_dose = np.array([
    4.2, 11.5, 7.3, 5.8, 6.4, 10, 11.2, 11.2, 5.2, 7,
    15.2, 21.5, 17.6, 9.7, 14.5, 10, 8.2, 9.4, 16.5, 9.7
])
medium_dose = np.array([
    16.5, 16.5, 15.2, 17.3, 22.5, 17.3, 13.6, 14.5, 18.8, 15.5,
    19.7, 23.3, 23.6, 26.4, 20, 25.2, 25.8, 21.2, 14.5, 27.3
])
large_dose = np.array([
    23.6, 18.5, 33.9, 25.5, 26.4, 32.5, 26.7, 21.5, 23.3, 29.5,
    25.5, 26.4, 22.4, 24.5, 24.8, 30.9, 26.4, 27.3, 29.4, 23
])

scipy.stats.bartlett 統計量對樣本之間變異數的差異很敏感。

from scipy import stats
res = stats.bartlett(small_dose, medium_dose, large_dose)
res.statistic

0.6654670663030519

當變異數存在很大差異時，統計量的值往往會很高。

我們可以通過將觀察到的統計量值與虛無分配進行比較，來檢驗組間變異數的不相等性：虛無分配是在虛無假設下得出的統計量值的分佈，即三組的母體變異數相等。

對於此檢定，虛無分配遵循卡方分佈，如下所示。

import matplotlib.pyplot as plt
k = 3  # number of samples
dist = dist = stats.chi2(df=k-1)
val = np.linspace(0, 5, 100)
pdf = dist.pdf(val)
fig, ax = plt.subplots(figsize=(8, 5))

def plot(ax):  # we'll reuse this
    ax.plot(val, pdf, color='C0')
    ax.set_title("Bartlett Test Null Distribution")
    ax.set_xlabel("statistic")
    ax.set_ylabel("probability density")
    ax.set_xlim(0, 5)
    ax.set_ylim(0, 1)

plot(ax)
plt.show()

../../_images/ff07d218d37bbaa25902995f8cbe96fc19d426a218af099fd214de4a0183afab.png

比較結果以 p 值量化：p 值是虛無分配中大於或等於觀察到的統計量值的比例。

fig, ax = plt.subplots(figsize=(8, 5))
plot(ax)
pvalue = dist.sf(res.statistic)
annotation = (f'p-value={pvalue:.3f}\n(shaded area)')
props = dict(facecolor='black', width=1, headwidth=5, headlength=8)
_ = ax.annotate(annotation, (1.5, 0.22), (2.25, 0.3), arrowprops=props)
i = val >= res.statistic
ax.fill_between(val[i], y1=0, y2=pdf[i], color='C0')
plt.show()

../../_images/cbce01894a9acfe92828e6e67772632c61726daa8fd1c23069ce0a36b30af448.png

res.pvalue

0.71696121509966

如果 p 值「很小」——也就是說，如果從具有相同變異數的分佈中抽樣數據，產生如此極端的統計量值的機率很低——這可以被視為反對虛無假設，而支持對立假設的證據：組間的變異數不相等。請注意

反之則不成立；也就是說，該檢定不用於提供支持虛無假設的證據。
將被視為「小」的值的閾值，應在分析數據之前根據偽陽性（錯誤地拒絕虛無假設）和偽陰性（未能拒絕錯誤的虛無假設）的風險來選擇 [2]。
小的 p 值並不是大效應的證據；相反，它們只能為「顯著」效應提供證據，意味著它們不太可能在虛無假設下發生。

請注意，當觀察值呈常態分佈時，卡方分佈提供了虛無分配。對於從小樣本數且非常態母體中抽取的樣本，執行排列檢定可能更合適：在所有三個樣本都來自同一母體的虛無假設下，每個測量值都同樣有可能在三個樣本中的任何一個中被觀察到。因此，我們可以通過計算在許多隨機生成的觀察值劃分到三個樣本中的情況下的統計量，來形成隨機化的虛無分配。

def statistic(*samples):
    return stats.bartlett(*samples).statistic
ref = stats.permutation_test(
    (small_dose, medium_dose, large_dose), statistic,
    permutation_type='independent', alternative='greater'
)
fig, ax = plt.subplots(figsize=(8, 5))
plot(ax)
bins = np.linspace(0, 5, 25)
ax.hist(
    ref.null_distribution, bins=bins, density=True, facecolor="C1"
)
ax.legend(['asymptotic approximation\n(many observations)',
           'randomized null distribution'])
plot(ax)
plt.show()

../../_images/0ab7086a142d1f276affb0dd76880304bcbab6cfbb940adf109fec12534133f5.png

ref.pvalue  # randomized test p-value

0.5432

請注意，此處計算的 p 值與 scipy.stats.bartlett 上方返回的漸近近似值之間存在顯著差異。從排列檢定中嚴格得出的統計推論是有限的；儘管如此，在許多情況下，它們可能是首選方法 [3]。

Bartlett 變異數相等性檢定#

參考文獻#