Yule-Simon 分布#
具有參數 \(\alpha>0\) 的 Yule-Simon 隨機變數可以表示為指數隨機變數的混合。為了理解這一點，將 W 寫成具有速率 \(\rho\) 的指數隨機變數，以及具有機率 \(1-exp(-W)\) 的幾何隨機變數 K，則 K 邊際上具有 Yule-Simon 分布。上述潛在變數表示法用於隨機變數生成。
\begin{eqnarray*} p \left( k; \alpha \right) & = & \alpha \frac{\Gamma\left(k\right)\Gamma\left(\alpha + 1\right)}{\Gamma\left(k+\alpha+1\right)} \\ F \left( k; \alpha \right) & = & 1 - \frac{ k \Gamma\left(k\right)\Gamma\left(\alpha + 1\right)}{\Gamma\left(k+\alpha+1\right)} \end{eqnarray*}
對於 \(k = 1,2,...\)。
現在
\begin{eqnarray*} \mu & = & \frac{\alpha}{\alpha-1}\\ \mu_{2} & = & \frac{\alpha^2}{\left(\alpha-1\right)^2\left( \alpha - 2 \right)}\\ \gamma_{1} & = & \frac{ \sqrt{\left( \alpha - 2 \right)} \left( \alpha + 1 \right)^2}{ \alpha \left( \alpha - 3 \right)}\\ \gamma_{2} & = & \frac{ \left(\alpha + 3\right) + \left(\alpha^3 - 49\alpha - 22\right)}{\alpha \left(\alpha - 4\right)\left(\alpha - 3 \right) } \end{eqnarray*}
對於 \(\alpha>1\)，否則平均值為無限大且變異數不存在。對於變異數，\(\alpha>2\)，否則變異數不存在。同樣地，為了使偏度和峰度有限，\(\alpha>3\) 和 \(\alpha>4\) 分別成立。