Poisson 分佈#
Poisson 隨機變數計算在 \(n\) 個獨立的白努利試驗中成功的次數，在 \(n\rightarrow\infty\) 且 \(p\rightarrow0\) 的極限下，其中每次試驗成功的機率為 \(p\) 且 \(np=\lambda\geq0\) 為常數。它可以用於近似二項式隨機變數，或者直接用於計算在區間 \(\left[0,t\right]\) 中發生的事件數，適用於滿足某些「稀疏性」約束的過程。 函數如下：
\begin{eqnarray*} p\left(k;\lambda\right) & = & e^{-\lambda}\frac{\lambda^{k}}{k!}\quad k\geq0,\\ F\left(x;\lambda\right) & = & \sum_{n=0}^{\left\lfloor x\right\rfloor }e^{-\lambda}\frac{\lambda^{n}}{n!}=\frac{1}{\Gamma\left(\left\lfloor x\right\rfloor +1\right)}\int_{\lambda}^{\infty}t^{\left\lfloor x\right\rfloor }e^{-t}dt,\\ \mu & = & \lambda\\ \mu_{2} & = & \lambda\\ \gamma_{1} & = & \frac{1}{\sqrt{\lambda}}\\ \gamma_{2} & = & \frac{1}{\lambda}.\end{eqnarray*}
\[M\left(t\right)=\exp\left[\lambda\left(e^{t}-1\right)\right].\]