負二項分佈#
帶有參數 \(n\) 和 \(p\in\left(0,1\right)\) 的負二項隨機變數可以定義為累積總共 \(n\) 次成功所需的額外獨立試驗次數（超過 \(n\) 次），其中每次試驗成功的機率為 \(p.\) 等效地，此隨機變數是在獨立試驗中累積 \(n\) 次成功時遇到的失敗次數，該實驗成功的機率為 \(p.\) 因此，
\begin{eqnarray*} p\left(k;n,p\right) & = & \left(\begin{array}{c} k+n-1\\ n-1\end{array}\right)p^{n}\left(1-p\right)^{k}\quad k\geq0\\ F\left(x;n,p\right) & = & \sum_{i=0}^{\left\lfloor x\right\rfloor }\left(\begin{array}{c} i+n-1\\ i\end{array}\right)p^{n}\left(1-p\right)^{i}\quad x\geq0\\ & = & I_{p}\left(n,\left\lfloor x\right\rfloor +1\right)\quad x\geq0\\ \mu & = & n\frac{1-p}{p}\\ \mu_{2} & = & n\frac{1-p}{p^{2}}\\ \gamma_{1} & = & \frac{2-p}{\sqrt{n\left(1-p\right)}}\\ \gamma_{2} & = & \frac{p^{2}+6\left(1-p\right)}{n\left(1-p\right)}.\end{eqnarray*}
回想一下，\(I_{p}\left(a,b\right)\) 是不完全貝塔積分。