Beta-二項分布

Beta-二項分布是一種二項分布，其成功機率 p 遵循 beta 分布。betabinom 的機率質量函數定義為 \(0 \leq k \leq n\)，為

\[f(k; n, a, b) = \binom{n}{k} \frac{B(k + a, n - k + b)}{B(a, b)}\]

對於 k 在 {0, 1,..., n} 中，其中 \(B(a, b)\) 是 Beta 函數。

在 \(a = b = 1\) 的極限情況下，beta-二項分布簡化為離散均勻分布

\[f(k; n, 1, 1) = \frac{1}{n + 1}\]

在 \(n = 1\) 的極限情況下，beta-二項分布簡化為 Bernoulli 分布，其形狀參數為 \(p = a / (a + b)\)

\[\begin{split}f(k; 1, a, b) = \begin{cases}a / (a + b) & \text{if}\; k = 0 \\b / (a + b) & \text{if}\; k = 1\end{cases}\end{split}\]

實作： scipy.stats.betabinom